کار در کلاس ۱ درستی یا نادرستی گزارههای مثلثاتی حسابان یازدهم
درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید.
الف) $\sin x$ یعنی سینوس زاویهای از دایره مثلثاتی که اندازه آن $x$ درجه باشد.
ب) $\sin \sqrt{۵}$ یک عدد حقیقی است.
پ) $\cos ۳^{\circ} = \cos ۳$.
ت) اگر $\frac{\pi}{۲} < x < \pi$ آنگاه $۰ < \cos x < ۱$ است.
ج) $x = \pi$ صفر تابع $f(x) = \cos x$ است.
ث) عددی میتوان یافت که سینوس آن برابر $-۲$ باشد.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۰۸ حسابان یازدهم
سلام! این تمرین بر مفاهیم اساسی **دامنه، برد و واحدهای زاویه** در توابع مثلثاتی متمرکز است. ✅❌
---
### الف) $\sin x$ یعنی سینوس زاویهای از دایره مثلثاتی که اندازه آن $x$ درجه باشد.
* **بررسی**: در تابع $\mathbf{y = \sin x}$، اگر واحد زاویه صریحاً ذکر نشود، $\mathbf{x}$ بر حسب **رادیان** است، نه درجه. برای درجه، باید از نماد $\circ$ (مثل $\sin x^{\circ}$) استفاده شود.
* **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$
---
### ب) $\sin \sqrt{۵}$ یک عدد حقیقی است.
* **بررسی**: تابع $\mathbf{y = \sin x}$ برای تمام مقادیر حقیقی $x$ (رادیان) تعریف شده است (دامنه $\mathbb{R}$). $\sqrt{۵}$ یک عدد حقیقی است. خروجی سینوس نیز همواره یک عدد حقیقی است.
* **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$
---
### پ) $\cos ۳^{\circ} = \cos ۳$.
* **بررسی**: سمت چپ $\mathbf{۳ \text{ درجه}}$ و سمت راست $\mathbf{۳ \text{ رادیان}}$ است. $۳ \text{ رادیان} \approx ۳ \times ۵۷.۳^{\circ} = ۱۷۱.۹^{\circ}$.
* **مقایسه**: $\cos(۳^{\circ}) \approx ۰.۹۹۸۶$ (نزدیک به ۱) و $\cos(۳ \text{ rad}) \approx -۰.۹۹$ (نزدیک به $-۱$). این دو مقدار مساوی نیستند.
* **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$
---
### ت) اگر $\frac{\pi}{۲} < x < \pi$ آنگاه $۰ < \cos x < ۱$ است.
* **بررسی**: بازه $\frac{\pi}{۲} < x < \pi$ **ربع دوم** است ($۹۰^{\circ}$ تا $۱۸۰^{\circ}$). در ربع دوم، $\mathbf{\cos x}$ **منفی** است.
* **بُرد در ربع دوم**: $\mathbf{-۱ < \cos x < ۰}$.
* **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$
---
### ج) $x = \pi$ صفر تابع $f(x) = \cos x$ است.
* **بررسی**: صفر تابع یعنی $f(x) = ۰$. باید ببینیم $\mathbf{\cos(\pi)}$ چقدر است.
* **محاسبه**: $\cos(\pi) = -۱$.
* **نتیجه**: چون $\cos(\pi) = -۱ \ne ۰$، پس $athbf{x = \pi}$ صفر تابع نیست. (صفر تابع کسینوس $\frac{\pi}{۲}, \frac{۳\pi}{۲}, \dots$ است.)
* **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$
---
### ث) عددی میتوان یافت که سینوس آن برابر $-۲$ باشد.
* **بررسی**: **برد تابع سینوس** (مجموعه مقادیر خروجی آن) همواره در بازه $\mathbf{[-۱, ۱]}$ است.
* **نتیجه**: عدد $-۲$ خارج از برد تابع سینوس است. بنابراین، هیچ زاویهای وجود ندارد که سینوس آن $-۲$ باشد.
* **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$
